DERIVADAS IMPLÍCITAS
Introducción
El calculo diferencial es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones, método de Newton y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua.
Ahora viendo los grande que es el calculo diferencial este blog se va a centrar en el tema de las
Derivadas Implícitas
Empezaremos definiendo qué es una derivada explicita e implícita; una derivada explicita es aquella en la que su variable dependiente (por lo general, la y ) está despejada :
Ejemplo
Como vemos solo hay una variable y de la ecuación y está despejada.
Ahora vamos a ver la forma implícita su variable dependiente (por lo general, la y ) no está despejada, se dice que está escrita en forma implícita. Los siguientes ejemplos muestran casos de funciones escritas en forma implícita:
Una función escrita en forma implícita puede estar así por dos razones: una, porque la variable dependiente (por lo general, la y ) sea algebraicamente imposible despejarla, como cuando aparece como parte de algún argumento al mismo tiempo que no parte de algún argumento.
Para obtener la derivada de una función implícita se emplean las mismas fórmulas dy /dx y las mismas reglas de derivación estudiadas hasta ahora, en donde debe tenerse solamente el cuidado de tratar a la variable dependiente y exactamente como una variable.
Dicho de otra forma, la variable dependiente y ocupará el lugar de la u en las fórmulas.
Por definición
Se resuelve la derivada tomando a Y como una función ‘U’, y utilizando la propiedad
Luego se despeja Y’ ( debe estar la Y’ sola, con ninguna constante.)
Y al tener Y’ despejada tenemos la derivada.
Por formula
Donde el numerador negativo es la derivada de la función con respecto a X y el denominador es la derivada de la función con respecto a Y.
Con respecto a X se toma a Y como una constante, y con respecto a Y se toma a X como una variable.
La regla de la cadena permite realizar la derivación de funciones implícitas.
Supongamos que F(x,y)=0 define a y de manera implícita como una función diferenciable de x, es decir, y=f(x), donde F(x,f(x))=0 para todas las x del dominio de f.
Por ejemplo, en la figura de la izquierda la gráfica en trazo continuo se corresponde con ( x 2 + y 2 ) 2 = x 2 − y 2 y en trazo discontinuo ( x 2 + y 2 ) 2 =2xy
Si F es diferenciable, aplicando la regla de la cadena a ambos miembros de la ecuación, F(x,y)=0 se tiene:
∂F ∂x dx dx + ∂F ∂y dy dx =0 ⇒ Si ∂F ∂y ≠0 dy dx =− ∂F ∂x ∂F ∂y
¿Cómo saber cuándo F(x,y)=0 define a y implícitamente como una función de x?
Teorema de la función implícita: Si F está definida sobre un disco abierto D que contiene al punto (a,b) donde F(a,b)=0 y además:
∂F ∂x , ∂F ∂y son continuas en D
∂F ∂y ( a,b )≠0
entonces la ecuación F(x,y)=0 define a y como una función diferenciable de x en un entorno del punto (a,b).
Regla para derivación implícita
Para derivar funciones implícitas:
1) Derivar ambos miembros de la igualdad, aplicando las mismas fórmulas antes vistas.
2) Despejar , para lo cual: dy /dx
a) Escribir en el lado izquierdo de la igualdad todos los términos que contengan a la derivada y del lado derecho todos los términos que no la contengan.
b) Factorizar en el lado izquierdo . dy /dx
c) Despejar , dividiendo en el lado derecho el factor que le dy /dx multiplica.
Regla para Segunda Derivada implícita
Para derivar funciones implícitas:
1) Derivar ambos miembros de la igualdad, aplicando las mismas fórmulas antes vistas.
2) Despejar , para lo cual: dy /dx
a) Escribir en el lado izquierdo de la igualdad todos los términos que contengan a la derivada y del lado derecho todos los términos que no la contengan.
b) Factorizar en el lado izquierdo . dy /dx
c) Despejar , dividiendo en el lado derecho el factor que le dy /dx multiplica.
Segunda Derivada implícita de una función
3) Derivar segunda vez a un lado de la igualdad
4) sustituir la primera derivada en la regla de la cadena de la segunda derivada
A continuación les mostraré un vídeo sobre la derivación implícita
Por ultimo una pequeña biografía sobre Karl Friedrich Gauss
Karl Friedrich Gauss
(Brunswick, actual Alemania, 1777 - Gotinga, id., 1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Karl Friedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria.
El duque le proporcionó asistencia financiera en sus estudios secundarios y universitarios, que efectuó en la Universidad de Gotinga entre 1795 y 1798. Su tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema fundamental del álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que Gauss demostró.
En 1801 Gauss publicó una obra destinada a influir de forma decisiva en la conformación de la matemática del resto del siglo, y particularmente en el ámbito de la teoría de números, las Disquisiciones aritméticas, entre cuyos numerosos hallazgos cabe destacar: la primera prueba de la ley de la reciprocidad cuadrática; una solución algebraica al problema de cómo determinar si un polígono regular de n lados puede ser construido de manera geométrica (sin resolver desde los tiempos de Euclides); un tratamiento exhaustivo de la teoría de los números congruentes; y numerosos resultados con números y funciones de variable compleja (que volvería a tratar en 1831, describiendo el modo exacto de desarrollar una teoría completa sobre los mismos a partir de sus representaciones en el plano x, y) que marcaron el punto de partida de la moderna teoría de los números algebraicos.
Su fama como matemático creció considerablemente ese mismo año, cuando fue capaz de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primera vez pocos meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en 1794 y aún hoy día la base computacional de modernas herramientas de estimación astronómica.
En 1807 aceptó el puesto de profesor de astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargo en el que permaneció toda su vida. Dos años más tarde, su primera esposa, con quien había contraído matrimonio en 1805, falleció al dar a luz a su tercer hijo; más tarde se casó en segundas nupcias y tuvo tres hijos más. En esos años Gauss maduró sus ideas sobre geometría no euclidiana, esto es, la construcción de una geometría lógicamente coherente que prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas; aunque no publicó sus conclusiones, se adelantó en más de treinta años a los trabajos posteriores de Lobachewski y Bolyai.
Alrededor de 1820, ocupado en la correcta determinación matemática de la forma y el tamaño del globo terráqueo, Gauss desarrolló numerosas herramientas para el tratamiento de los datos observacionales, entre las cuales destaca la curva de distribución de errores que lleva su nombre, conocida también con el apelativo de distribución normal y que constituye uno de los pilares de la estadística.
Otros resultados asociados a su interés por la geodesia son la invención del heliotropo, y, en el campo de la matemática pura, sus ideas sobre el estudio de las características de las superficies curvas que, explicitadas en su obraDisquisitiones generales circa superficies curvas (1828), sentaron las bases de la moderna geometría diferencial. También mereció su atención el fenómeno del magnetismo, que culminó con la instalación del primer telégrafo eléctrico (1833). Íntimamente relacionados con sus investigaciones sobre dicha materia fueron los principios de la teoría matemática del potencial, que publicó en 1840.
Otras áreas de la física que Gauss estudió fueron la mecánica, la acústica, la capilaridad y, muy especialmente, la óptica, disciplina sobre la que publicó el tratado Investigaciones dióptricas (1841), en las cuales demostró que un sistema de lentes cualquiera es siempre reducible a una sola lente con las características adecuadas. Fue tal vez la última aportación fundamental de Karl Friedrich Gauss, un científico cuya profundidad de análisis, amplitud de intereses y rigor de tratamiento le merecieron en vida el apelativo de «príncipe de los matemáticos».
GRACIAS
Sergio Camilo Cely Ibarra
20141135090
